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幂级数展开

先求导数,导数之后就能用等比级数展开,在用逐项积分求出原函数的级数.arctan[(4+x^2)/(4-x^2)] '=1/{1+[(4+x^2)/(4-x^2)]^2} * [(4+x^2)/(4-x^2)] '最后化简得到=16x / (2x^4+32

少打一个ln(1-x),我手机打不出来,换个-x.最后-1,1左必右开,然后第四个那个,n=1

e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!++x^n/n!+1/(1-x)=1+x+x^2++x^n+sinx=x-x^3/3!+x^5/5!++(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!+用kx代替上式中的x即可.

1. 定理:设函数 在点X0的某一邻域 内只有各阶导数,则 在该邻域内能展开成Taylor级数的充分条件是 的Taylor公式中的余项 的极限为零.2. 3.4.小结:幂级数是函数项级数中最基本的一类.它的特点是在其收敛区间绝对收敛,且幂级数在收敛

还是我来解释吧.我们常用泰勒公式把函数f(x)展开成幂级数的形式,通常会说在x=x0处展开,这首先要满足函数在领域(x0,δ)有定义,有直到n阶的导数f(x0),这样我们就可以在x=x0处用taylor公式展开了.当然如果在x=0处满足上面的条件,那么可以在x=0处展开,这就是所谓的马克劳林公式,是泰勒公式的特殊情况.我们常用的初等函数幂级数表就是在x=0处展开的.

分子分母同时乘以246…2n,则分子变为(-1)的n次方(2n)!3(x-1)的n+2次方;分母变为2的n+2次方(n+2)!246…2n;将(x-1)的n+2次方除以2的n+2次方,再将246…2n转化为2的n次方乘以n!,则分母变为2的n次方n!(n+2)!;最后把(n+1)(n+2)提取出来

常用的有sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)^m,1/(1-x),e^x就这几个.cosx=1-(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)-(x^6)/(6!)+ x属于(负无穷,正无穷) sinx=x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)-(x^7)/(7!)+ x属于(负无穷,正无穷)

要满足一定条件,来保证展开成的级数收敛.比如由 Weierstrass一致逼近定理,闭区间上的连续函数都可以由多项式来逼近.再比如平方可积的函数可以由其所属空间的一组标准正交基来表示,也就是 Fourier级数.

解:第1题,∵e^x=∑(x^n)/(n!)=1+x+(1/2!)x^2+……+(x^n)/(n!)+……、e^(-x)=∑(x^n)/(n!)=1-x+(1/2!)x^2+……+[(-1)^n/(n!)](x^n)+……,∴f(x)=(1/2)[e^x+e^(-x)]=1+(1/2!)x^2+(1/4!)x^4+……+[1/(2n)!]x^(2n)+……=∑[x^(2n)]/[(2n)!],其中,n=0,1,2,……,∞,

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